在数学领域中，不等式是研究数量关系的重要工具之一。不等式的性质和应用广泛存在于代数、几何、分析等多个分支中。其中，有四个基本的不等式公式，在解决实际问题时起到了至关重要的作用。这四个公式分别是：均值不等式、柯西-施瓦茨不等式、三角不等式以及排序不等式。

首先，我们来探讨均值不等式。它表明对于任意非负实数a₁, a₂, ..., an，其算术平均数大于或等于几何平均数，即(a₁ + a₂ + ... + an)/n ≥ √(a₁ a₂ ... an)。这个不等式揭示了不同类型的平均值之间的关系，并且在优化理论、概率论等领域有着广泛的应用。

接下来是柯西-施瓦茨不等式。该不等式指出，对于两个向量x = (x₁, x₂, ..., xn) 和 y = (y₁, y₂, ..., yn)，它们的内积平方不大于各自长度平方的乘积，即(∑xᵢyᵢ)² ≤ (∑xᵢ²)(∑yᵢ²)。这一结论不仅适用于欧几里得空间中的向量，还可以推广到更一般的内积空间中去。

第三个要介绍的是三角不等式。三角不等式说明了两点间最短距离的概念——任意三点A、B、C之间满足|AB| + |BC| ≥ |AC|。这一简单的法则实际上蕴含着深刻的几何意义，并且在解析几何、复变函数等方面具有重要意义。

最后，让我们来看看排序不等式。当有两个序列{x₁, x₂, ..., xn}与{y₁, y₂, ..., yn}时，如果将它们按照某种顺序排列，则它们对应元素相乘后的总和不会超过按降序排列后所得结果。也就是说，无论怎样重新安排这两个序列的位置，只要保证每个位置上的数都来自同一个序列，那么最终得到的最大值总是固定的。

以上就是关于不等式基本公式的简要概述。这些公式不仅是数学学习过程中的重要知识点，同时也是科学研究和技术开发过程中不可或缺的基础理论支持。希望通过对这些内容的学习能够帮助大家更好地理解和掌握不等式的本质及其实际用途。