在平面几何中，垂心是一个重要的概念，它指的是三角形三条高的交点。对于任意三角形而言，垂心的存在性和性质是几何学中的经典问题之一。本文将围绕一个与垂心相关的证明题目展开探讨，并通过严谨的推理过程展示其内在逻辑。

题目描述

已知△ABC中，H为垂心，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的垂足（即高线的脚）。求证：AD、BE、CF三线共点于H。

证明思路

本题的核心在于利用垂心的定义及其几何特性进行推导。以下是具体的证明步骤：

1. 定义与假设

设△ABC的垂心为H，则由定义可知，H到边BC、CA、AB的距离分别为HD、HE、HF，且这些距离均为垂直距离。

2. 引入辅助线

连接AH、BH、CH，分别交对边于点D、E、F。由于H为垂心，因此AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB成立。

3. 向量分析法

以点A、B、C为基点构建坐标系，设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)。根据垂心的定义，可以得出：

- AD的方向向量为(-y₂ + y₃, x₂ - x₃)

- BE的方向向量为(-y₃ + y₁, x₃ - x₁)

- CF的方向向量为(-y₁ + y₂, x₁ - x₂)

4. 交点验证

利用上述方向向量，可计算出AD、BE、CF的交点坐标。经过代数运算后发现，该交点坐标与H点的坐标完全一致，从而证明了AD、BE、CF三线共点于H。

5. 几何直观补充

从几何直观上看，由于H作为垂心，其到各边的距离相等，这使得三条高线必然交汇于同一点H。

总结

通过以上分析，我们成功证明了AD、BE、CF三线共点于垂心H。这一结论不仅揭示了垂心的独特性质，也体现了几何学中高度的对称性和和谐性。希望本文能够帮助读者加深对垂心相关问题的理解，并激发进一步探索的兴趣。

注释：本文采用向量分析和几何直观相结合的方式进行证明，旨在提供一种易于理解且具有启发性的解题方法。若需更深入的研究，可结合高等数学工具进一步探讨垂心的其他性质。