在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它的前一项的比值是一个常数，这个常数被称为公比。等比数列在生活中有着广泛的应用，比如银行利息计算、人口增长模型等。下面我们通过一些基础练习题来帮助大家更好地理解和掌握等比数列的相关知识。
练习题 1：
已知一个等比数列的首项为 $a_1 = 3$，公比为 $q = 2$，求该数列的第5项。
解析：
等比数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
将已知条件代入公式：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48
$$
因此，第5项为 48。
练习题 2：
已知一个等比数列的第3项为 $a_3 = 12$，公比为 $q = \frac{1}{2}$，求该数列的首项 $a_1$。
解析：
根据等比数列的通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
将已知条件代入公式：
$$
12 = a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1}
$$
化简得：
$$
12 = a_1 \cdot \frac{1}{4}
$$
解方程：
$$
a_1 = 12 \cdot 4 = 48
$$
因此，首项为 48。
练习题 3：
已知一个等比数列的前两项分别为 $a_1 = 2$ 和 $a_2 = 6$，求该数列的公比 $q$ 及第4项。
解析：
公比 $q$ 的定义为：
$$
q = \frac{a_2}{a_1}
$$
代入已知条件：
$$
q = \frac{6}{2} = 3
$$
接下来，利用通项公式求第4项：
$$
a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54
$$
因此，公比为 3，第4项为 54。
练习题 4：
已知一个等比数列的前3项和为 $S_3 = 26$，首项为 $a_1 = 2$，求公比 $q$。
解析：
等比数列的前 $n$ 项和公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad (q \neq 1)
$$
将已知条件代入公式：
$$
26 = 2 \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q}
$$
化简得：
$$
13 = \frac{1 - q^3}{1 - q}
$$
进一步整理：
$$
13(1 - q) = 1 - q^3
$$
$$
13 - 13q = 1 - q^3
$$
$$
q^3 - 13q + 12 = 0
$$
通过试根法或因式分解，可得 $q = 3$ 是该方程的一个解。
因此，公比为 3。
练习题 5：
已知一个等比数列的前4项和为 $S_4 = 30$，首项为 $a_1 = 2$，求公比 $q$。
解析：
同上一题，利用前 $n$ 项和公式：
$$
30 = 2 \cdot \frac{1 - q^4}{1 - q}
$$
化简得：
$$
15 = \frac{1 - q^4}{1 - q}
$$
进一步整理：
$$
15(1 - q) = 1 - q^4
$$
$$
15 - 15q = 1 - q^4
$$
$$
q^4 - 15q + 14 = 0
$$
通过试根法或因式分解，可得 $q = 2$ 是该方程的一个解。
因此，公比为 2。
通过以上练习题，我们可以看到等比数列的基本性质和公式在实际问题中的应用。希望这些题目能够帮助大家巩固等比数列的基础知识！
