在2015年的上海高考中，数学试卷以其严谨性和创新性吸引了众多考生和教育工作者的关注。本文将针对理科数学试卷中的第0607题进行详细的解析，并提供清晰的答案。希望通过这一过程，能够帮助考生更好地理解题目背后的数学思想与解题技巧。
原题再现
题目如下：
> 设函数 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $，其中 $ a, b, c, d $ 为常数，且已知 $ f(1) = 2 $，$ f(-1) = -2 $，$ f'(1) = 3 $，$ f'(-1) = -3 $。求系数 $ a, b, c, d $ 的值。
解析过程
第一步：利用条件表达式
根据题意，函数 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
$$
结合题目给出的条件，可以列出以下四个方程：
1. $ f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 2 $
即：
$$
a + b + c + d = 2 \tag{1}
$$
2. $ f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -2 $
即：
$$
-a + b - c + d = -2 \tag{2}
$$
3. $ f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3 $
即：
$$
3a + 2b + c = 3 \tag{3}
$$
4. $ f'(-1) = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = -3 $
即：
$$
3a - 2b + c = -3 \tag{4}
$$
第二步：联立方程组
从上述四个方程出发，我们可以通过消元法逐步求解未知数。
消去 $ c $
由 (3) 和 (4)，相加得到：
$$
(3a + 2b + c) + (3a - 2b + c) = 3 + (-3)
$$
化简得：
$$
6a + 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + c = 0 \tag{5}
$$
由 (3) 减去 (4)，得到：
$$
(3a + 2b + c) - (3a - 2b + c) = 3 - (-3)
$$
化简得：
$$
4b = 6 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3}{2} \tag{6}
$$
求 $ c $
将 $ b = \frac{3}{2} $ 代入 (5)，得到：
$$
3a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -3a \tag{7}
$$
求 $ a $ 和 $ d $
将 $ b = \frac{3}{2} $ 和 $ c = -3a $ 代入 (1) 和 (2)，分别得到两个关于 $ a $ 和 $ d $ 的方程。
从 (1)：
$$
a + \frac{3}{2} - 3a + d = 2
$$
化简得：
$$
-2a + d = \frac{1}{2} \tag{8}
$$
从 (2)：
$$
-a + \frac{3}{2} + 3a + d = -2
$$
化简得：
$$
2a + d = -\frac{7}{2} \tag{9}
$$
联立 (8) 和 (9)
由 (8) 和 (9)，相减得到：
$$
(-2a + d) - (2a + d) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{7}{2}\right)
$$
化简得：
$$
-4a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = -1
$$
将 $ a = -1 $ 代入 (8)，得到：
$$
-2(-1) + d = \frac{1}{2}
$$
化简得：
$$
d = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}
$$
第三步：确定所有系数
综上所述，各系数分别为：
$$
a = -1, \quad b = \frac{3}{2}, \quad c = -3a = 3, \quad d = -\frac{3}{2}
$$
因此，函数 $ f(x) $ 的完整表达式为：
$$
f(x) = -x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 3x - \frac{3}{2}
$$
答案
$$
\boxed{a = -1, \, b = \frac{3}{2}, \, c = 3, \, d = -\frac{3}{2}}
$$
