在初中数学的学习中，完全平方公式是一个非常重要的知识点，它不仅在代数运算中频繁出现，而且在因式分解、方程求解等方面也有广泛应用。为了帮助同学们更好地掌握这一内容，以下是一份关于“完全平方公式”的测试题，题目涵盖基础概念、公式的应用以及综合运用，附有详细解答，便于自我检测与巩固。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列哪个等式是正确的？
A. $ (a + b)^2 = a^2 + b^2 $
B. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
C. $ (a + b)^2 = a^2 + ab + b^2 $
D. $ (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
2. 若 $ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 $，则该式子的展开方式属于：
A. 完全平方公式
B. 平方差公式
C. 因式分解
D. 多项式乘法
3. 计算 $ (2x - 5)^2 $ 的结果是：
A. $ 4x^2 - 20x + 25 $
B. $ 4x^2 - 10x + 25 $
C. $ 4x^2 + 20x + 25 $
D. $ 4x^2 + 10x + 25 $
4. 已知 $ a + b = 7 $，$ ab = 12 $，则 $ (a + b)^2 = $：
A. 19
B. 49
C. 36
D. 25
5. 若 $ (x + y)^2 = 25 $，且 $ x + y = 5 $，则 $ x \cdot y $ 的值为：
A. 0
B. 5
C. 10
D. 12.5
二、填空题（每空2分，共10分）
1. $ (m + n)^2 = m^2 + \_\_\_\_ + n^2 $
2. $ (3a - 2b)^2 = 9a^2 - \_\_\_\_ + 4b^2 $
3. 若 $ x^2 + 6x + 9 = (x + \_\_\_\_)^2 $，则括号内应填 ______。
4. $ (a - 3)^2 = a^2 - 6a + \_\_\_\_ $
5. 若 $ (x + y)^2 = 16 $，且 $ x + y = 4 $，则 $ xy = \_\_\_\_ $
三、计算题（每题5分，共15分）
1. 计算 $ (2x + 3y)^2 $。
2. 展开 $ (5 - 3a)^2 $。
3. 化简 $ (x + 2)^2 + (x - 2)^2 $。
四、解答题（每题10分，共20分）
1. 已知 $ a + b = 8 $，$ ab = 15 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。
2. 若 $ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 $，试用完全平方公式验证该等式是否成立，并说明其意义。
五、拓展题（10分）
已知 $ (x + y)^2 = 25 $，$ (x - y)^2 = 9 $，求 $ x^2 + y^2 $ 和 $ xy $ 的值。
参考答案：
一、选择题
1. B
2. A
3. A
4. B
5. D
二、填空题
1. 2ab
2. 12ab
3. 3
4. 9
5. 12.5
三、计算题
1. $ 4x^2 + 12xy + 9y^2 $
2. $ 25 - 30a + 9a^2 $
3. $ 2x^2 + 8 $
四、解答题
1. $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 64 - 30 = 34 $
2. 等式成立，因为 $ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 $ 符合完全平方公式。
五、拓展题
由 $ (x + y)^2 = 25 $ 得 $ x^2 + 2xy + y^2 = 25 $；
由 $ (x - y)^2 = 9 $ 得 $ x^2 - 2xy + y^2 = 9 $。
相加得 $ 2x^2 + 2y^2 = 34 $，所以 $ x^2 + y^2 = 17 $；
相减得 $ 4xy = 16 $，所以 $ xy = 4 $。
通过这份测试题，希望同学们能够加深对完全平方公式的理解与应用能力，提高数学思维和解题技巧。建议在做题过程中多思考、多练习，逐步提升自己的数学水平。
