在初中数学的学习过程中，二次函数是一个重要的知识点，也是中考中常见的考点之一。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面整理了一份针对“新人教版九年级上数学二次函数练习题”的练习资料，涵盖基础题型与典型例题，适合课后巩固和复习使用。
一、基础知识回顾
1. 二次函数的定义
形如 $ y = ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 0 $）的函数称为二次函数。
其中：
- $ a $ 是二次项系数，决定抛物线的开口方向和大小；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项，表示图像与 y 轴交点的纵坐标。
2. 顶点式
二次函数还可以表示为 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ (h, k) $ 是抛物线的顶点。
3. 对称轴
二次函数的图像是抛物线，其对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} $。
4. 图像性质
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，有最低点；
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，有最高点。
二、典型练习题
题目 1：判断下列哪些是二次函数
A. $ y = 3x + 2 $
B. $ y = x^2 - 5 $
C. $ y = 2x^3 + x $
D. $ y = -4x^2 + 7x - 1 $
答案： B 和 D 是二次函数。
题目 2：求函数 $ y = 2x^2 - 8x + 5 $ 的顶点坐标
解法：
利用公式 $ x = -\frac{b}{2a} $，代入得：
$ x = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2 $
将 $ x = 2 $ 代入原式得：
$ y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3 $
顶点坐标为 (2, -3)
题目 3：写出函数 $ y = -3(x + 1)^2 + 4 $ 的顶点和对称轴
解：
该函数已写成顶点式，顶点为 $ (-1, 4) $，对称轴为 $ x = -1 $
题目 4：已知某二次函数的图像经过点 (1, 2)、(0, 3) 和 (-1, 6)，求该函数的解析式
解法：
设函数为 $ y = ax^2 + bx + c $，代入三点：
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 3 $，所以 $ c = 3 $
- 当 $ x = 1 $ 时，$ a + b + 3 = 2 $ → $ a + b = -1 $
- 当 $ x = -1 $ 时，$ a - b + 3 = 6 $ → $ a - b = 3 $
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = -1 \\
a - b = 3
\end{cases}
$$
相加得：$ 2a = 2 $ → $ a = 1 $，代入得 $ b = -2 $
解析式为： $ y = x^2 - 2x + 3 $
三、拓展提升题
题目 5：某商品的销售价为 $ x $ 元，月销量为 $ y $ 件，满足关系 $ y = -2x + 100 $，每件利润为 $ (x - 40) $ 元，求月利润最大值是多少？
解：
利润 $ P = y \cdot (x - 40) = (-2x + 100)(x - 40) $
展开得：
$ P = -2x^2 + 80x + 100x - 4000 = -2x^2 + 180x - 4000 $
这是一个关于 $ x $ 的二次函数，开口向下，最大值出现在顶点处：
$ x = -\frac{180}{2 \times (-2)} = 45 $
代入得：
$ P = -2(45)^2 + 180 \times 45 - 4000 = -4050 + 8100 - 4000 = 50 $
最大利润为 50 元
四、总结
二次函数是初中数学的重要内容，掌握其基本形式、图像特征以及实际应用，对于提高数学成绩具有重要意义。通过多做练习题，不断巩固知识，才能灵活运用所学内容解决实际问题。
建议同学们在学习过程中注重理解概念，勤于练习，逐步提升自己的数学思维能力。
温馨提示： 本练习题适用于人教版九年级上册数学教材中的“二次函数”章节，适合学生课后练习或教师备课参考。
