在学习《信号与系统》这门课程的过程中，学生常常会遇到各种类型的题目，涉及连续时间信号、离散时间信号、系统的时域分析、频域分析、傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等内容。为了更好地掌握这些知识点，进行系统的练习和习题解答是非常有必要的。
本篇内容旨在为学习者提供一些典型习题的解答思路与方法，帮助大家加深对基本概念的理解，并提升解题能力。需要注意的是，虽然部分题目可能具有一定的相似性，但每道题都有其独特的分析过程，因此建议读者在解题过程中注重理解而非单纯记忆答案。
一、时域分析类题目
例题1：已知一个线性时不变系统的单位冲激响应为 $ h(t) = e^{-t}u(t) $，输入信号为 $ x(t) = u(t) - u(t-2) $，求系统的输出 $ y(t) $。
解题思路：
该题属于卷积运算的应用。根据卷积定理，输出 $ y(t) = x(t) h(t) $，即：
$$
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t - \tau) d\tau
$$
将给定的 $ x(t) $ 和 $ h(t) $ 代入，得到：
$$
y(t) = \int_{0}^{2} e^{-(t - \tau)} u(t - \tau) d\tau
$$
由于 $ u(t - \tau) $ 在 $ \tau < t $ 时为 1，否则为 0，因此积分区间需要根据 $ t $ 的不同取值进行调整。最终可得：
$$
y(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
1 - e^{-t}, & 0 \leq t < 2 \\
e^{-t}(e^{2} - 1), & t \geq 2
\end{cases}
$$
二、频域分析类题目
例题2：求函数 $ x(t) = e^{-|t|} $ 的傅里叶变换。
解题思路：
该函数是一个偶函数，且定义在 $ (-\infty, +\infty) $ 上。因此，傅里叶变换公式可简化为：
$$
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|t|} e^{-j\omega t} dt = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t} \cos(\omega t) dt
$$
利用积分公式：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-at} \cos(bt) dt = \frac{a}{a^2 + b^2}
$$
代入 $ a = 1 $，$ b = \omega $，得到：
$$
X(j\omega) = \frac{2}{1 + \omega^2}
$$
三、系统稳定性与因果性判断
例题3：判断系统 $ y(t) = x(2t) $ 是否为线性、时不变、因果、稳定系统。
解题思路：
- 线性：若 $ y_1(t) = x_1(2t) $，$ y_2(t) = x_2(2t) $，则 $ ay_1(t) + by_2(t) = ax_1(2t) + bx_2(2t) $，满足线性。
- 时不变：若输入为 $ x(t - t_0) $，则输出应为 $ y(t - t_0) = x(2(t - t_0)) = x(2t - 2t_0) $，而原系统输出为 $ x(2t - 2t_0) $，因此是时不变的。
- 因果性：当 $ t < 0 $ 时，$ x(2t) $ 取决于 $ t < 0 $ 的输入，因此不是因果系统。
- 稳定性：若 $ |x(t)| \leq M $，则 $ |y(t)| = |x(2t)| \leq M $，故系统稳定。
四、小结
通过上述几道典型的《信号与系统》习题解析可以看出，掌握基础理论、熟悉各类变换（如傅里叶、拉普拉斯、Z变换）以及理解系统的性质（如线性、时不变、因果、稳定）是解决此类问题的关键。在实际学习中，建议多做练习题，结合图示理解信号的变化过程，从而逐步提高自己的分析能力和解题技巧。
希望本文能够为正在学习《信号与系统》的同学提供一些参考和帮助。
