【分数求导数的公式高中数学导数必背公式】在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点，尤其在函数的性质分析、极值求解以及图像变化趋势的研究中起着关键作用。而在众多导数公式中，分数形式的函数求导是同学们经常遇到的问题之一。掌握好这一类导数的计算方法，对于提高数学成绩和理解函数的本质具有重要意义。

一、什么是分数形式的函数？

分数形式的函数通常指的是分子或分母中含有变量的函数，例如：

$$

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

$$

其中，$ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是关于 $ x $ 的可导函数，并且 $ v(x) \neq 0 $。

这类函数在实际问题中非常常见，比如速度与时间的关系、增长率的分析等，因此掌握其求导方法尤为重要。

二、分数求导的基本法则：商法则

对于分数形式的函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其导数可以通过商法则来求解：

$$

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

$$

这个公式可以简记为：

> “分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母的平方。”

举例说明：

设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，求导：

- $ u(x) = x^2 + 1 $，则 $ u'(x) = 2x $

- $ v(x) = x - 3 $，则 $ v'(x) = 1 $

代入公式得：

$$

f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}

= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2}

$$

展开并整理：

$$

= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2}

= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}

$$

三、如何记忆商法则？

为了方便记忆，可以采用以下口诀：

> “上导下减下导上，分母平方别忘掉。”

或者用形象的方式理解为：

- 分子先导，乘以分母；

- 再减去分子乘以分母的导；

- 最后除以分母的平方。

这种记忆方式有助于在考试中快速准确地应用公式。

四、常见的易错点与注意事项

1. 符号容易出错：在使用商法则时，注意“减号”的位置，不要混淆。

2. 分母不能为零：在计算时要特别注意定义域，确保分母不为零。

3. 先化简再求导：有时候对分数进行约分或变形后再求导会更简便。

4. 结合其他法则使用：如复合函数、乘积法则等，灵活运用才能应对复杂题目。

五、总结

在高中数学中，分数形式的函数求导是导数学习的重要内容之一。掌握商法则不仅能帮助我们解决具体问题，还能提升对函数变化规律的理解能力。建议同学们在平时练习中多做一些相关的题目，熟练掌握公式，并在实际应用中不断巩固。

通过反复练习和理解，相信每位同学都能轻松应对分数函数的导数问题，为高考打下坚实的基础。