【线性代数(同济大学第五版)课后习题答案（(大二所）】在大学的数学课程中，线性代数是一门非常重要的基础课程，尤其对于理工科学生而言，它不仅是后续课程的基础，也是许多实际应用问题的理论支撑。《线性代数》（同济大学第五版）作为国内高校广泛使用的教材之一，其内容系统、逻辑清晰，深受广大师生的喜爱。
在学习过程中，很多同学都会遇到一些难以独立解决的课后习题。为了帮助大家更好地掌握知识点，理解解题思路，以下是对该教材部分典型习题的详细解析与解答，希望能为正在学习这门课程的同学提供参考和帮助。
一、行列式计算
例题1：计算下列三阶行列式
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}
$$
解法：
可以使用对角线法则或展开法进行计算。这里采用展开法：
$$
= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)
$$
$$
= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)
$$
$$
= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3)
$$
$$
= -3 + 12 - 9 = 0
$$
结论： 该行列式的值为0。
二、矩阵运算
例题2：设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，求 $ A^2 $
解法：
矩阵乘法是按行乘列的方式进行的：
$$
A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
$$
$$
= \begin{bmatrix}
1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \\
3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 + 6 & 2 + 8 \\
3 + 12 & 6 + 16
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
7 & 10 \\
15 & 22
\end{bmatrix}
$$
结论： $ A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} $
三、向量组的线性相关性
例题3：判断向量组 $ \alpha_1 = (1, 2, 3), \alpha_2 = (2, 4, 6), \alpha_3 = (3, 6, 9) $ 是否线性相关
分析：
观察这三个向量，可以发现：
- $ \alpha_2 = 2 \alpha_1 $
- $ \alpha_3 = 3 \alpha_1 $
说明这三个向量之间存在明显的倍数关系，因此它们是线性相关的。
结论： 向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 线性相关。
四、特征值与特征向量
例题4：求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值与特征向量
解法：
首先求特征方程：
$$
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0
$$
$$
(2 - \lambda)^2 = 1 \Rightarrow 2 - \lambda = \pm 1 \Rightarrow \lambda = 1 \text{ 或 } 3
$$
当 $ \lambda = 1 $ 时：
$$
(A - I)X = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0
$$
解得：$ x + y = 0 \Rightarrow y = -x $，所以特征向量为 $ k \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $（$ k \neq 0 $）
当 $ \lambda = 3 $ 时：
$$
(A - 3I)X = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0
$$
解得：$ -x + y = 0 \Rightarrow y = x $，所以特征向量为 $ k \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $（$ k \neq 0 $）
结论： 特征值为1和3，对应的特征向量分别为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ 和 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $
总结
通过以上几类典型题目的讲解，可以看出线性代数不仅注重理论的理解，更强调实际运算能力的培养。建议同学们在学习过程中多做练习，结合教材与参考资料，逐步提升自己的数学素养与解题技巧。
希望这份整理能够对你的学习有所帮助！
