【错位相减法求和典型例题10道】在数列求和中，错位相减法是一种非常重要的方法，尤其适用于等差数列与等比数列的乘积形式的数列求和。该方法通过将原数列与其自身按某种方式错位后相减，从而简化计算过程，得到一个可求和的新数列。

以下是10道典型的错位相减法求和例题，每道题均附有详细解答及答案总结表格，便于学习与复习。

一、例题解析

例题1：

已知数列 $ a_n = n \cdot 2^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

设 $ S_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n $

两边同乘以2得：

$ 2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^{n+1} $

两式相减得：

$ -S_n = (2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) - n \cdot 2^{n+1} $

利用等比数列求和公式，得：

$ S_n = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2 $

例题2：

已知数列 $ a_n = n \cdot 3^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

类似例题1，最终结果为：

$ S_n = (n-1) \cdot 3^{n+1} + 3 $

例题3：

已知数列 $ a_n = n \cdot r^n $（r ≠ 1），求前n项和 $ S_n $。

解法：

使用错位相减法，得：

$ S_n = \frac{r(1 - (n+1)r^n + nr^{n+1})}{(1 - r)^2} $

例题4：

已知数列 $ a_n = n \cdot (1/2)^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

通过错位相减，得：

$ S_n = 2 - \frac{n + 2}{2^n} $

例题5：

已知数列 $ a_n = n \cdot (1/3)^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

最终结果为：

$ S_n = \frac{3}{4} - \frac{3(n + 1)}{4 \cdot 3^n} $

例题6：

已知数列 $ a_n = (2n - 1) \cdot 2^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

通过错位相减法，化简得：

$ S_n = (2n - 3) \cdot 2^{n+1} + 6 $

例题7：

已知数列 $ a_n = (n + 1) \cdot 3^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

结果为：

$ S_n = (n - 1) \cdot 3^{n+1} + 3 $

例题8：

已知数列 $ a_n = (n + 2) \cdot 4^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

结果为：

$ S_n = (n - 2) \cdot 4^{n+1} + 8 $

例题9：

已知数列 $ a_n = (2n + 1) \cdot 5^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

结果为：

$ S_n = (2n - 3) \cdot 5^{n+1} + 5 $

例题10：

已知数列 $ a_n = (n + 3) \cdot 2^n $，求前n项和 $ S_n $。

解法：

结果为：

$ S_n = (n - 3) \cdot 2^{n+1} + 12 $

二、答案汇总表

通过以上10道例题的学习与练习，可以更好地掌握错位相减法在数列求和中的应用技巧。建议结合实际题目反复演练，提升解题能力。

以上就是【错位相减法求和典型例题10道】相关内容，希望对您有所帮助。