【高中数学期望和方差公式】在高中数学中，期望和方差是概率与统计部分的重要概念，它们用于描述随机变量的集中趋势和离散程度。掌握这两个公式对于解决实际问题、理解数据分布具有重要意义。以下是对高中阶段常见期望和方差公式的总结。
一、期望（数学期望）
定义：
期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果，表示随机变量的“平均水平”。
公式：
| 随机变量类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) $ | $ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(x_i) $ 是对应的概率 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | $ f(x) $ 是概率密度函数 |
举例：
设一个随机变量 X 的分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
则期望为：
$$
E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
$$
二、方差
定义：
方差是衡量随机变量与其期望之间偏离程度的指标，数值越大，表示数据越分散。
公式：
| 随机变量类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ D(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(x_i) $ | 表示每个取值与期望的平方差乘以对应概率的总和 |
| 或等价公式： | $ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 更便于计算 |
| 连续型随机变量 | $ D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx $ | 同样适用于连续型变量 |
举例：
仍以上述随机变量 X 为例，已知 $ E(X) = 2.1 $，则：
$$
D(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3
$$
$$
= (-1.1)^2 \times 0.2 + (-0.1)^2 \times 0.5 + (0.9)^2 \times 0.3
$$
$$
= 1.21 \times 0.2 + 0.01 \times 0.5 + 0.81 \times 0.3 = 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.49
$$
三、常用分布的期望和方差
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ D(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、总结
期望和方差是概率统计中的基础工具，帮助我们理解和分析随机现象。在高中阶段，重点掌握离散型随机变量的期望和方差计算方法，并熟悉一些常见分布的公式。通过练习题和实际应用，可以更好地掌握这些概念。
| 关键点 | 内容 |
| 期望 | 反映随机变量的平均值 |
| 方差 | 反映随机变量的波动性 |
| 计算方式 | 离散型：加权求和；连续型：积分 |
| 常见分布 | 二项、泊松、均匀、正态等 |
| 应用 | 数据分析、风险评估、统计推断等 |
通过系统学习和反复练习，可以有效提升对期望和方差的理解和运用能力。
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