【三角形重心坐标公式及证明】在几何学中，三角形的重心是一个重要的几何中心，它是由三角形三条中线的交点所确定的。重心不仅在数学上有重要意义，在物理、工程和计算机图形学等领域也有广泛应用。本文将对三角形重心坐标的计算公式进行总结，并通过推导过程加以说明。
一、三角形重心的概念
三角形的重心（Centroid）是三角形三边中线的交点，同时也是三角形质量分布的中心。对于一个由三个顶点构成的三角形，重心具有以下性质：
- 重心到每个顶点的距离是该顶点到对边中点距离的三分之二；
- 重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的一段是靠近边的一段的两倍。
二、三角形重心坐标公式
设三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则该三角形的重心 $ G $ 的坐标为：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
即：
重心的横坐标是三个顶点横坐标的平均值，纵坐标是三个顶点纵坐标的平均值。
三、公式证明
我们可以通过向量法或解析几何法来证明上述公式。
向量法证明：
设 $ A $、$ B $、$ C $ 三点的向量分别为 $ \vec{A} $、$ \vec{B} $、$ \vec{C} $，则中线从顶点 $ A $ 到边 $ BC $ 的中点 $ M $ 的向量为：
$$
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
$$
从 $ A $ 到 $ M $ 的中线向量为：
$$
\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{A}
$$
重心 $ G $ 在中线 $ AM $ 上，且满足 $ AG : GM = 2:1 $，因此：
$$
\vec{G} = \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{AM} = \vec{A} + \frac{2}{3} \left( \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{A} \right)
$$
化简得：
$$
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
$$
因此，重心的坐标为：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
四、总结与表格
| 内容 | 说明 |
| 公式名称 | 三角形重心坐标公式 |
| 公式表达式 | $ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) $ |
| 公式来源 | 通过向量法或解析几何法推导得出 |
| 应用领域 | 数学、物理、计算机图形学等 |
| 特性 | 重心是三条中线的交点，且将中线分为 2:1 的比例 |
| 计算方法 | 对三个顶点的坐标分别取平均值 |
五、结论
三角形的重心坐标公式简洁而实用，能够快速计算出任意三角形的重心位置。其核心思想是通过对三个顶点坐标的平均来确定重心的位置，这一方法在实际问题中具有广泛的适用性。通过理解其几何意义和数学证明，可以更深入地掌握这一基础几何知识。
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