在数学分析中，数列极限是一个重要的概念。它描述了当一个数列中的项随着序号无限增大时，该数列趋近于某个特定值的过程。本文将通过几个具体的例子来探讨如何证明数列的极限。

例题一：基本定义法

设数列 {a_n} 定义为 a_n = 1/n，其中 n 是正整数。我们需要证明 lim (n→∞) a_n = 0。

证明：

根据极限的定义，对于任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，|a_n - 0| < ε 恒成立。

即 |1/n| < ε。显然，只要取 N > 1/ε，则对于所有 n > N，都有 |1/n| < ε 成立。因此，lim (n→∞) a_n = 0。

例题二：夹逼定理

考虑数列 {b_n}，其中 b_n = (-1)^n / n。我们需要证明 lim (n→∞) b_n = 0。

证明：

注意到 |b_n| = |(-1)^n / n| = 1/n。由于 1/n > 0 对于所有 n 都成立，并且我们知道 lim (n→∞) 1/n = 0，所以由夹逼定理可以得出 lim (n→∞) b_n = 0。

例题三：递归关系

假设数列 {c_n} 满足 c_1 = 1，且对于 n ≥ 1，有 c_{n+1} = c_n / 2 + 1/c_n。我们尝试证明此数列收敛，并找出其极限。

证明：

首先观察到 c_n > 0 对于所有的 n 都成立。然后我们考虑函数 f(x) = x/2 + 1/x，在 x > 0 上进行分析。计算导数 f'(x)，发现 f'(x) 在 x > 0 上总是小于 1，这表明函数是收缩映射。

接下来，利用不动点理论，解方程 f(x) = x 得到唯一解 x = √2。因此，根据压缩映射原理，数列 {c_n} 收敛至 √2。

总结

以上三个例子展示了不同类型的数列极限问题及其相应的证明方法。无论是直接应用极限定义，还是借助夹逼定理或压缩映射原理，理解这些技巧对于掌握数列极限至关重要。希望这些实例能够帮助读者更好地理解和解决类似的数学问题。