【一、函数、极限、连续重要概念公式定理】在高等数学的学习过程中，函数、极限与连续是构建整个微积分体系的基石。它们不仅是理解后续内容的基础，更是解决实际问题的重要工具。本文将围绕这三个核心概念展开，系统梳理其基本定义、重要公式以及相关定理，帮助读者更好地掌握这一部分内容。
1. 函数的基本概念
函数是描述两个变量之间关系的一种数学工具。设集合 $ A $ 与 $ B $ 是两个非空实数集，若对于每个 $ x \in A $，都有唯一确定的 $ y \in B $ 与之对应，则称这个对应关系为从 $ A $ 到 $ B $ 的一个函数，记作 $ y = f(x) $，其中 $ x $ 称为自变量，$ y $ 称为因变量，而 $ A $ 称为函数的定义域，$ B $ 称为值域。
函数可以分为多种类型，如初等函数（包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）、复合函数、分段函数等。此外，函数还具有奇偶性、周期性、单调性等性质，这些特性在分析函数图像和求解问题时具有重要作用。
2. 极限的概念与计算
极限是研究函数在某一点附近变化趋势的重要工具，也是微积分的核心思想之一。极限的定义如下：
设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某个去心邻域内有定义，若当 $ x $ 趋近于 $ x_0 $ 时，$ f(x) $ 接近某个确定的常数 $ L $，则称 $ L $ 为 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的极限，记作：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$
极限的运算规则包括四则运算法则、无穷小量与无穷大量的比较、夹逼定理等。例如，若 $ \lim_{x \to a} f(x) = L $，$ \lim_{x \to a} g(x) = M $，则：
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M $
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $
- $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $（当 $ M \neq 0 $）
同时，常见的极限形式包括 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $、$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $ 等，这些极限在后续学习中具有广泛应用。
3. 连续性的定义与判定
函数在某一点连续，是指该点处的极限值等于函数值。具体来说，若函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处满足：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$
则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续。如果函数在其定义域内的每一点都连续，则称该函数为连续函数。
连续函数具有以下性质：
- 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；
- 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；
- 若 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，且 $ f(a) \cdot f(b) < 0 $，则至少存在一点 $ c \in (a, b) $，使得 $ f(c) = 0 $（介值定理）。
4. 常见定理总结
- 极限存在的充要条件：左右极限存在且相等。
- 连续函数的局部保号性：若 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续且 $ f(x_0) > 0 $，则存在 $ x_0 $ 的一个邻域，使得该邻域内所有点的函数值均大于零。
- 连续函数的有界性：在闭区间上连续的函数必有界。
- 一致连续性：在闭区间上连续的函数是一致连续的。
综上所述，函数、极限与连续构成了高等数学中最基础、最重要的部分。掌握这些概念不仅有助于提升数学思维能力，也为进一步学习导数、积分等内容打下坚实基础。建议在学习过程中注重理解定义的本质，结合实例进行练习，逐步形成系统的知识结构。
