【1.4.1（有理数的乘法法则）】在数学的学习过程中，有理数的乘法是一个基础而重要的知识点。它不仅是后续学习代数、方程等内容的基础，也是我们在日常生活和实际问题中经常用到的运算方式。本节将围绕“有理数的乘法法则”进行详细讲解，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们需要明确什么是“有理数”。有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即形如 $ \frac{a}{b} $（其中 $ a $ 和 $ b $ 都是整数，且 $ b \neq 0 $）的数。这包括正整数、负整数、零、正分数以及负分数等。因此，有理数的范围非常广泛，涵盖了我们日常生活中常见的各种数值。
接下来，我们进入本节的核心内容——有理数的乘法法则。乘法的基本思想是将两个数相乘，得到它们的积。但在有理数范围内，乘法的规则需要考虑符号的变化，这一点与整数的乘法类似，但更复杂一些。
一、有理数乘法的基本规则
1. 同号相乘，结果为正
当两个有理数都是正数或都是负数时，它们的乘积为正数。例如：
- $ (+3) \times (+2) = +6 $
- $ (-3) \times (-2) = +6 $
2. 异号相乘，结果为负
当一个有理数为正，另一个为负时，它们的乘积为负数。例如：
- $ (+3) \times (-2) = -6 $
- $ (-3) \times (+2) = -6 $
3. 任何数与0相乘，结果为0
不论是有理数还是其他类型的数，只要其中一个因数为0，乘积就一定是0。例如：
- $ 5 \times 0 = 0 $
- $ (-7) \times 0 = 0 $
二、乘法的运算步骤
在进行有理数的乘法运算时，我们可以按照以下步骤来进行：
1. 确定符号：根据两个数的符号判断乘积的正负。
2. 计算绝对值：将两个数的绝对值相乘。
3. 组合结果：将符号与绝对值相乘的结果结合，得到最终的乘积。
例如：
- 计算 $ (-4) \times (+3) $
- 符号：负号 × 正号 = 负号
- 绝对值：$ 4 \times 3 = 12 $
- 结果：$ -12 $
三、乘法的交换律与结合律
有理数的乘法同样满足乘法的交换律和结合律，这些性质在简化运算和解决复杂问题时非常有用。
- 交换律：$ a \times b = b \times a $
- 结合律：$ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
例如：
- $ (-2) \times (+3) = (+3) \times (-2) = -6 $
- $ [(-2) \times (+3)] \times (-1) = (-2) \times [(+3) \times (-1)] = 6 $
四、应用实例
为了更好地理解有理数的乘法法则，我们可以通过一些实际例子来加深印象：
例题1：计算 $ (-5) \times (-4) $
- 符号：负 × 负 = 正
- 绝对值：$ 5 \times 4 = 20 $
- 结果：$ +20 $
例题2：计算 $ (+7) \times (-3) $
- 符号：正 × 负 = 负
- 绝对值：$ 7 \times 3 = 21 $
- 结果：$ -21 $
例题3：计算 $ 0 \times (-9) $
- 根据乘法规则，结果为0。
通过以上内容的学习，我们可以发现，有理数的乘法虽然在符号处理上略显复杂，但其基本规则清晰明了，只要掌握好符号的判断和绝对值的计算，就能轻松应对各类乘法运算。同时，理解乘法的交换律和结合律也有助于提高运算效率和解题能力。
希望同学们在今后的学习中能够灵活运用这些规则，不断提升自己的数学素养和逻辑思维能力。
