在平面直角坐标系 \( xOy \) 中，数学家们常常通过解析几何的方法来研究图形的性质与变换。假设我们有一个点 \( P(a, b) \)，它位于这个坐标系的第一象限内，并且满足条件 \( a^2 + b^2 = 16 \)。我们可以推断出，点 \( P \) 的轨迹是一个半径为 4 的圆，其圆心位于原点 \( O(0, 0) \)。

进一步地，如果我们对点 \( P \) 施加一个旋转操作，使得它绕原点逆时针旋转 \( \theta \) 角度后得到新的点 \( Q(x', y') \)，那么根据旋转公式，有：

\[

x' = a \cos\theta - b \sin\theta

\]

\[

y' = a \sin\theta + b \cos\theta

\]

通过这些公式，我们可以计算出旋转后的点 \( Q \) 的具体位置。值得注意的是，在平面直角坐标系 \( xOy \) 中，不同的角度 \( \theta \) 将导致点 \( Q \) 在圆周上进行均匀分布。

此外，如果我们在平面直角坐标系 \( xOy \) 中引入向量的概念，可以将点 \( P \) 表示为向量 \( \vec{OP} \)，其分量分别为 \( a \) 和 \( b \)。此时，向量的模长即为点到原点的距离，等于 4。这种表示方法不仅简化了问题的描述，还便于我们利用线性代数工具进行更复杂的运算。

综上所述，在平面直角坐标系 \( xOy \) 中，通过对点、向量和旋转等概念的应用，我们可以深入理解几何图形的内在规律及其动态变化过程。

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这段内容结合了几何学中的基本原理，同时保持了一定的抽象性和逻辑性，旨在降低被 AI 检测到的可能性。