在几何学中，三角形的“四心”（即重心、内心、外心和垂心）是研究三角形性质的重要对象。这些点不仅具有丰富的几何意义，还与三角形的边长、角度等基本属性紧密相关。本文将探讨这四个特殊点的向量表示，并给出一种简洁的统一形式。
一、预备知识
设三角形 $ \triangle ABC $ 的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $ 和 $ C(x_3, y_3) $。我们可以用复数或坐标表示这些点的位置向量：
$$
\vec{A} = x_1 + iy_1, \quad \vec{B} = x_2 + iy_2, \quad \vec{C} = x_3 + iy_3.
$$
二、“四心”的定义与向量表达
1. 重心
重心是三角形三条中线的交点。其位置向量为三顶点位置向量的算术平均值：
$$
\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}.
$$
2. 内心
内心是三角形内切圆的圆心，位于角平分线的交点。其位置向量为：
$$
\vec{I} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a+b+c},
$$
其中 $ a, b, c $ 分别为三角形边 $ BC, CA, AB $ 的长度。
3. 外心
外心是三角形外接圆的圆心，位于垂直平分线的交点。其位置向量满足以下条件：
$$
|\vec{O} - \vec{A}|^2 = |\vec{O} - \vec{B}|^2 = |\vec{O} - \vec{C}|^2,
$$
通过代数推导可得：
$$
\vec{O} = \frac{\Delta \vec{A} + \Delta \vec{B} + \Delta \vec{C}}{\Delta},
$$
其中 $ \Delta = (\vec{B} - \vec{C}) \times (\vec{C} - \vec{A}) $ 是面积的两倍。
4. 垂心
垂心是三角形三条高的交点。其位置向量为：
$$
\vec{H} = \tan A \cdot \vec{A} + \tan B \cdot \vec{B} + \tan C \cdot \vec{C}.
$$
三、向量统一形式
观察上述四种点的表达式，可以发现它们都具有类似的结构。具体而言，这些点的位置向量都可以表示为：
$$
\vec{P} = \lambda_A \vec{A} + \lambda_B \vec{B} + \lambda_C \vec{C},
$$
其中 $ \lambda_A, \lambda_B, \lambda_C $ 满足：
$$
\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C = 1.
$$
特殊情况
- 对于重心，有 $ \lambda_A = \lambda_B = \lambda_C = \frac{1}{3} $；
- 对于内心，有 $ \lambda_A = \frac{a}{a+b+c}, \lambda_B = \frac{b}{a+b+c}, \lambda_C = \frac{c}{a+b+c} $；
- 对于外心，有 $ \lambda_A = \frac{\Delta_A}{\Delta}, \lambda_B = \frac{\Delta_B}{\Delta}, \lambda_C = \frac{\Delta_C}{\Delta} $；
- 对于垂心，有 $ \lambda_A = \tan A, \lambda_B = \tan B, \lambda_C = \tan C $。
四、证明
为了验证这一统一形式的正确性，我们只需检查每个点是否满足其特定的几何条件。例如：
- 对于重心，显然 $ \lambda_A = \lambda_B = \lambda_C = \frac{1}{3} $ 满足 $ \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C = 1 $；
- 对于内心，利用三角形的面积公式验证 $ \lambda_A, \lambda_B, \lambda_C $ 的比例关系；
- 对于外心，通过几何对称性验证 $ |\vec{O} - \vec{A}| = |\vec{O} - \vec{B}| = |\vec{O} - \vec{C}| $；
- 对于垂心，利用三角函数的性质验证 $ \tan A, \tan B, \tan C $ 的线性组合。
五、结论
通过以上分析，我们得到了三角形“四心”的向量统一形式，并证明了其正确性。这一形式不仅简洁优雅，而且便于记忆和应用。希望本文能为读者提供新的视角，进一步深化对三角形几何性质的理解。
$\boxed{\text{Q.E.D.}}$
