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平面向量同步练习题(向量的加法运算及其几何意义(答案))

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2025-07-09 07:07:39

平面向量同步练习题(向量的加法运算及其几何意义(答案))】在学习向量的过程中,向量的加法运算是一个基础而重要的内容。它不仅在数学中有着广泛的应用,在物理、工程等领域也起着关键作用。本练习题旨在帮助同学们巩固对向量加法的理解,并掌握其几何意义。

一、选择题

1. 下列说法中,正确的是( )

A. 向量相加的结果是一个标量

B. 向量加法满足交换律

C. 向量加法不满足结合律

D. 向量加法只适用于同方向的向量

答案:B

解析:向量加法是矢量运算,结果仍为向量;向量加法满足交换律和结合律,因此B正确。

2. 已知向量 a = (3, 4),b = (-1, 2),则 a + b 的坐标为( )

A. (2, 6)

B. (4, 6)

C. (2, 2)

D. (3, 2)

答案:A

解析:向量加法是对应分量相加,即(3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)。

3. 若 a 和 b 是两个向量,则 a + b 的几何意义是( )

A. 从起点出发,沿 a 方向走一段,再沿 b 方向走一段

B. 从 a 的终点指向 b 的终点

C. 以 a 和 b 为邻边作平行四边形,对角线表示 a + b

D. 从原点出发,连接 a 和 b 的中点

答案:C

解析:向量加法的几何意义是“平行四边形法则”,即以两向量为邻边作平行四边形,其对角线表示两向量之和。

二、填空题

1. 若 a = (5, -2),b = (-3, 4),则 a + b = ________。

答案:(2, 2)

2. 向量 a 和 b 满足 a + b = 0,则 a 与 b 的关系是________。

答案:互为相反向量

3. 向量 a = (2, 3),b = (1, -1),则 a + b 的模为________。

答案:√(3² + 2²) = √13

三、解答题

1. 已知向量 a = (1, 2),b = (3, -1),求 a + b 并画出其几何图形。

解:

a + b = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1)

几何上,可以将 a 和 b 首尾相连,形成一个三角形,或者以 a 和 b 为邻边作平行四边形,对角线即为 a + b。

2. 设向量 AB = (2, 5),向量 BC = (-1, 3),求向量 AC。

解:

AC = AB + BC = (2 + (-1), 5 + 3) = (1, 8)

3. 用几何方法说明为什么 a + b = b + a。

解:

根据平行四边形法则,把两个向量作为邻边画出平行四边形,无论先加 a 再加 b,还是先加 b 再加 a,最后的对角线都是相同的,因此 a + b = b + a,这体现了向量加法的交换律。

四、拓展思考

1. 如果两个向量的方向相同,它们的和有什么特点?

答: 向量和的方向与它们的方向一致,大小为两个向量长度之和。

2. 如果两个向量方向相反,它们的和有什么特点?

答: 向量和的方向与较长的那个向量方向一致,大小为两个向量长度之差。

通过本练习题的训练,希望同学们能够更好地理解向量加法的代数运算和几何意义,为后续学习向量的减法、数量积等打下坚实的基础。

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